بسط تیلور در حد

بسط تیلور در ریاضیات همانند بدل در فیلم ها

بدل آن چیزی است که در فیلم های سینمایی بسیار دیده اید بدل شخصی است که در مواقع حساس و دشوارتر به جای بازیگر اصلی صحنه ای اکشن را اجرا می کند و می بایست در آن لحظه کوتاه ظاهری مشابه بازیگر اصلی داشته باشد اما هدفمان از بیان مفهوم بدل در فیلم های سینمایی این است که بدل را در ریاضیات معرفی کنیم در ریاضیات نیز در برخی مواقع توانایی تحلیل یک تابع را نداریم بنابرین از مشابه آن تابع فقط در آن نقطه استفاده می کنیم همانطور که از بدل به جای بازیگر اصلی در یک سکانس خاص استفاده می شود.

بسط تیلور در واقع معادل یک تابع در یک نقطه است که به میزانی که جملات بیشتری از بسط را بدست آوریم دقت آن بالا می رود دلیل اینکه بسط تیلور یک تابع مشابه در یک نقطه و اطراف آن مشابه آن تابع است این است که در ساختن فرمول بسط تیلور سعی بر این است که بسط تیلور مقدار و مشتق های برابری با خود تابع داشته باشد در واقع سعی شده است مشتق nام تابع در بسط تیلور بیاید. اما در خصوص بسط تیلور می بایست بیان کنیم که بسط تیلور توابع چند جمله ای خود این توابع می شود بنابرین بهتر است بسط تیلور توابع غیر چند جمله ای را بدست آوریم و اساسا بسط تیلور به ازای هر تابعی یک تابع چند جمله ای خواهد داد و به سبب آسان تر بودن تحلیل تابع چند جمله ای می توان از آن برای محاسبات استفاده نمود.

 چون مشتق و انتگرال تابع چند جمله ای به راحتی بدست می آید رسم آن آسانتر است ریشه های آن نیز آسان تر بدست می آید. بنابرین یافتن یک تابع چند جمله به جای هر تابع موجب سهولت تحلیل و محاسبه می گردد

در حل سوالات حد ممکن است با ابهام هایی مانند ابهام صفر صفرم یا ضرب صفر در بی نهایت مواجه شوید در این صورت یک راه حل مناسب استفاده از معادل بسط تیلور توابع صورت و مخرج در حد می باشد یعنی به جای آن تابع که در آن نقطه مقدار صفر می دهد یا صورت و مخرج را صفر می کند معادل آن را با بسط تیلور بدست آوریم و آن را جایگزین آن تابع در حد کنیم بدین وسیله سوال حد قابل حل خواهد بود

 

روابطی را ک با استفاده از بسط تیلور در نقطه صفر (بسط مک لورن) برای توابع معروف همچون سینوس و کسینوس مطرح می شود تا در حل سوالات حد مبهم استفاده شود هم ارزی می نامند در واقع این روابط آماده شده اند برای حد های در نقطه صفر استفاده شوند که در مواردی که حد در نقطه ای غیر صفر خواسته شده باشد با تغییر متغیر برای جایگزینی مهیا می شوند. در جزوه زیر سعی بر این است که دانش آموزان کنکوری با بسط تیلور آشنا شوند و به جای حفظ کردن روابط هم ارزی روش بدست آوردن معادل هر تابع را یاد بگیرند و سوالات را با انعطاف بیش تری حل کنند مطمئن باشید علاوه بر کاربرد بسط تیلور در حل سوالات حد، آشنا شدن با این مفهوم به فهم شما از ریاضیات بیش از پیش کمک خواهد کرد در جزوه زیر ابتدا بسط تیلور تشریح می شود سپس روش کاربرد آن در حل سوالات حد همراه با مثال هایی بیان خواهد شد.