تابع درجه دوم | بخش اول

 تعریف:

تابع چند جمله ای که بیشترین توان x برابر 2 است (n=2) تابع درجه دوم می­گوییم. تابع درجه دوم مانند دستگاهی است که x را دریافت کرده و توان دوم آن را می دهد.

ریشه های معادله درجه دوم:

منظور از ریشه های یک تابع یا معادله طول نقاط تلاقی نمودار آن تابع با محور xها است که به این نقاط صفرهای تابع نیز می گویند برای معادله درجه یک یعنی معادله با حداکثر توان یک، تعداد ریشه یک یا صفر است و برای تابع درجه دوم نیز تعداد ریشه ها می تواند صفر، 1 یا 2 عدد باشد. بنابرین برای یک معادله درجه n تعداد ریشه ها حداکثر n ریشه است و تعداد حالت های ممکن برای آن n+1 حالت است. در یک معادله درجه دوم علامت دلتا تعیین می کند که تعداد ریشه ها چند تا است. اگر دلتا منفی باشد معادله درجه دوم ریشه ندارد اگر دلتا صفر شود معادله درجه دوم یک ریشه مضاعف دارد و اگر دلتا مثبت شود تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم برابر دو ریشه است بنابرین برای تشخیص تعداد ریشه ها دلتای یک معادله درجه دوم را با استفاده از ضرایب معادله تشکیل می دهیم.

روش بدست آوردن صفرهای تابع درجه دوم:

روش های متعددی برای بدست آوردن ریشه های یک معادله درجه دوم (صفرهای تابع درجه دوم) وجود دارد در اینجا مهمترین روش ها را بیان می کنیم:

1) روش آزمون و خطا

در این روش با تشکیل جدول و مقداردهی به  و بدست آوردن مقدار  ،  را طوری کم یا زیاد می­کنیم که  به مقدار صفر نزدیک شود این کار را ادامه می­دهیم تا زمانی که ای را بدست آوریم که به ازای آن  صفر شود.

2) تنها کردن x

معمولا به دلیل حضور توان دوم و اول  در معادله درجه دوم، با استفاده از اعمالی که در حل معادله درجه اول انجام می­دادیم امکان حل معادله درجه دوم وجود ندارد اما اگر معادله درجه دوم فاقد  با توان یک باشد به راحتی می­توان معادله را با تنها کردن  حل کرد.

3) حل با استفاده از روش هندسی(رسم نمودار)

با رسم نمودار تابع از طریق عدد گذاری می­توان نقاطی که محور طول­ها را قطع می­کند بدست آوریم. این روش مشابهت­هایی با روش آزمون و خطا دارد. با استفاده از رسم نمودار روی یک برگه اندازه گیری شده(میلی متری)، به راحتی می­توان ریشه تابع را با دقت مناسبی بدست آورد.

4) مربع کامل کردن

در این روش برای بدست آوردن ریشه­های معادله درجه دوم، معادله را به مربع کامل تبدیل می­کنیم این کار با اضافه و کم کردن توان دوم نصف ضریب  x  انجام می شود.

)روش دلتا

روش دلتا در واقع همان روش مربع کامل کردن است با این تفاوت که در روش دلتا فرمولی کلی برای حل معادله درجه دوم بدست می­آوریم در واقع اگر با استفاده از روش مربع کامل یک معادله درجه دوم را به صورت پارامتری(ضرایب غیرعددی و متغیر) حل کنیم به فرمول دلتا می­رسیم

ضرایب معادله درجه دوم:

علامت ضرایب معادله درجه دوم و مقدار آن ها در شکل نمودار آن تابع تاثیر گذارند به عنوان مثال ضریب x  به توان دوم تعقر تابع و مقدار ثابت تابع عرض از مبدا را نشان می دهند همین طور با استفاده از ضرایب معادله درجه دوم می توان جمع و ضرب ریشه ها را را به راحتی بدست آورد و با استفاده از جمع و ضرب ریشه ها، خود ریشه ها را حد زد.

در جزوه زیر مباحث بالا همراه با مثال و توضیحات کافی ارائه شده اند جزوه پیش رو قسمت اول تابع درجه دوم شامل تعریف تابع درجه دوم و تعداد ریشه های معادله درجه دوم و روش بدست آوردن ریشه ها و تحلیل ضرایب تابع درجه دوم است و قسمت دوم این تابع تحت عنوان “تابع درجه دوم2” با موضوعات نمودار تابع درجه دوم و دامنه و برد تابع درجه دوم ارائه شده است.